Question

已知橢圓P的中心O在坐標原點，焦點在x軸上，且經(jīng)過點A（0，2），離心率為
（1）求橢圓P的方程：
（2）是否存在過點E（0，-4）的直線l交橢圓P于點R，T，且滿足•=．若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓P的方程為 +═1 （a＞b＞0），由橢圓經(jīng)過點A（0，2），離心率為，求得a和b的值，
從而求得橢圓P的方程．
（2）由 可得  x₁+x₂ 和x₁•x₂ 的值，可得y₁•y₂的值，根據(jù) •=，求出k=±1，
從而得到直線l的方程．
解答：解：（1）設(shè)橢圓P的方程為 +=1 （a＞b＞0），由題意得b=2，=，
∴a=2c，b²=a²-c²=3c²，∴c=2，a=4，∴橢圓P的方程為：．
（2）假設(shè)存在滿足題意的直線L．易知當直線的斜率不存在時，•＜0，不滿足題意．
故設(shè)直線L的斜率為k，R（x₁，y₁），T（x₂，y₂ ）．∵•=，∴x₁•x₂+y₁•y₂=，
由 可得 （3+4k² ）x²-32kx+16=0，由△=（-32k）²-4（3+4k²）•16＞0，
解得 k²＞  ①．
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=，
∴y₁•y₂=（kx₁-4 ）（kx₂-4）=k² x₁•x₂-4k（x₁+x₂）+16，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=+-+16=，∴k²=1  ②，
由①、②解得 k=±1，∴直線l的方程為 y=±x-4，
故存在直線l：x+y+4=0，或 x-y-4=0，滿足題意．
點評：本題考查求橢圓的標準方程的方法，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，兩個向量的數(shù)量積公式，求出x₁•x₂和y₁•y₂ 的值，是解題的關(guān)鍵．