Question

19．已知函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（x-1），且f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2^x-1，若在區(qū)間[-1，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． $[\frac{1}{4}，\frac{1}{3}）$
• B． $（0，\frac{1}{2}）$
• C． $（0，\frac{1}{4}]$
• D． $（\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$

Answer 1

分析 函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k有4個(gè)零點(diǎn)可化為函數(shù)f（x）與y=kx+k在[-1，3]內(nèi)的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，從而作圖求得．

解答 解：∵f（x+1）=f（x-1），
∴函數(shù)f（x）的周期為2，
∴作函數(shù)f（x）與y=kx+k在[-1，3]內(nèi)的圖象如下，
，
直線y=kx+k過(guò)點(diǎn)（-1，0）；
當(dāng)過(guò)點(diǎn)（3，1）時(shí)，直線的斜率k=$\frac{1-0}{3-（-1）}$=$\frac{1}{4}$，
故結(jié)合圖象可知，
0＜k≤$\frac{1}{4}$；
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．