【題目】如圖,攝影愛(ài)好者在某公園A處,發(fā)現(xiàn)正前方B處有一立柱,測(cè)得立柱頂端O的仰角和立柱底部B的俯角均為,已知攝影愛(ài)好者的身高約為米(將眼睛S距地面的距離SA按米處理).
(1)求攝影愛(ài)好者到立柱的水平距離AB和立柱的高度OB;
(2)立柱的頂端有一長(zhǎng)為2米的彩桿MN,且MN繞其中點(diǎn)O在攝影愛(ài)好者與立柱所在的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn).在彩桿轉(zhuǎn)動(dòng)的任意時(shí)刻,攝影愛(ài)好者觀察彩桿MN的視角(設(shè)為)是否存在最大值?若存在,請(qǐng)求出取最大值時(shí)的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1) AB為3米 OB為2米 (2) 當(dāng)視角∠MSN取最大值時(shí),cosθ=.
【解析】
(1)如圖,作SC⊥OB于C,
依題意∠CSB=30°,∠ASB=60°.
又SA=,故在Rt△SAB中,可求得AB==3,
即攝影愛(ài)好者到立柱的水平距離AB為3米.
在Rt△SCO中,SC=3,∠CSO=30°,OC=SC·tan 30°=,
又BC=SA=,故OB=2,即立柱的高度OB為2米.
(2)方法一:如圖,以O為原點(diǎn),以水平方向向右為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系,連接SM,SN,
設(shè)M(cosα,sinα),α∈[0,2π),
則N(-cosα,-sinα),由(1)知S(3,-).
故=(cosα-3,sinα+),
=(-cosα-3,-sinα+),
∵·=(cosα-3)·(-cosα-3)+(sinα+)·(-sinα+)=11.
||·||=·
=·
=
=.
由α∈[0,2π)知||·||∈[11,13].
所以cos∠MSN=∈[,1],易知∠MSN為銳角,
故當(dāng)視角∠MSN取最大值時(shí),cosθ=.
方法二:∵cos∠MOS=-cos∠NOS,
∴=-
于是得SM2+SN2=26從而
cosθ=≥=.
又∠MSN為銳角,
故當(dāng)視角∠MSN取最大值時(shí),cosθ=.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2018年10月19日,由中國(guó)工信部、江西省政府聯(lián)合主辦的世界VR(虛擬現(xiàn)實(shí))產(chǎn)業(yè)大會(huì)在南昌開(kāi)幕,南昌在紅谷灘新區(qū)建立VR特色小鎮(zhèn)項(xiàng)目.現(xiàn)某廠商抓住商機(jī)在去年用450萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一批VR設(shè)備,經(jīng)調(diào)試后今年投入使用,計(jì)劃第一年維修、保養(yǎng)費(fèi)用22萬(wàn)元,從第二年開(kāi)始,每年所需維修、保養(yǎng)費(fèi)用比上一年增加4萬(wàn)元,該設(shè)備使用后,每年的總收入為180萬(wàn)元,設(shè)使用x年后設(shè)備的盈利額為y萬(wàn)元.
(1)寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)使用若干年后,當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí),求該廠商的盈利額.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】遼寧號(hào)航母紀(jì)念章從2012年10月5日起開(kāi)始上市,通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查,得到該紀(jì)念章每枚的市場(chǎng)價(jià)(單位:元)與上市時(shí)間(單位:天)的數(shù)據(jù)如下:
上市時(shí)間天 | |||
市場(chǎng)價(jià)元 |
(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),從下列函數(shù)中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述遼寧號(hào)航母紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)與上市時(shí)間的變化關(guān)系:①;②;③;
(2)利用你選取的函數(shù),求遼寧號(hào)航母紀(jì)念章市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低的價(jià)格;
(3)設(shè)你選取的函數(shù)為,若對(duì)任意實(shí)數(shù),關(guān)于的方程恒有個(gè)想異實(shí)數(shù)根,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列滿足4Sn=(an+1)2 .
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn= , 求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,為圓上的動(dòng)點(diǎn),直線的方程為,動(dòng)點(diǎn)在直線上.
(1)求的最小值,并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,過(guò)作直線與圓交于,兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圓心在y軸上,半徑為1,且過(guò)點(diǎn)(1,2)的圓的方程為( 。
A.x2+(y﹣2)2=1
B.x2+(y+2)2=1
C.(x﹣1)2+(y﹣3)2=1
D.x2+(y﹣3)2=1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)其圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是將的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖像。
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若對(duì)任意當(dāng)時(shí),都有求實(shí)數(shù)的最大值;
(3)若對(duì)任意實(shí)數(shù)在上與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不少于6個(gè)且不多于10個(gè),求正實(shí)數(shù)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷(xiāo)售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律:每生產(chǎn)產(chǎn)品(百臺(tái)),其總成本為(萬(wàn)元),其中固定成本為萬(wàn)元,并且每生產(chǎn)百臺(tái)的生產(chǎn)成本為萬(wàn)元(總成本固定成本生產(chǎn)成本).銷(xiāo)售收入(萬(wàn)元)滿足,假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷(xiāo)平衡(即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣(mài)掉),根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律,請(qǐng)完成下列問(wèn)題:
(1)寫(xiě)出利潤(rùn)函數(shù)的解析式(利潤(rùn)銷(xiāo)售收入總成本);
(2)工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí),可使盈利最多?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列關(guān)于函數(shù)的判斷正確的是( 。
①的解集是;
②極小值,是極大值;
③沒(méi)有最小值,也沒(méi)有最大值.
A. ①③ B. ①②③ C. ② D. ①②
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