Question

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2B=A+C，b=2，則a+c的取值范圍是

（2，4]

．

Answer 1

分析：由2B=A+C及三角形的內(nèi)角和定理求出B的度數(shù)，進(jìn)而得到cosB的值，利用余弦定理表示出cosB，把cosB及b的值代入得到關(guān)于a與c的關(guān)系式ac=a²+c²-4，變形后根據(jù)基本不等式得出ac的最大值，然后利用完全平方公式把（a+c）²展開(kāi)后，再將a²+c²=ac+4代入化簡(jiǎn)為含有ac的關(guān)系式，根據(jù)ac的最大值求出（a+c）²的最大值，開(kāi)方即可得到a+c的最大值，最后再根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，由a+c大于b可得a+c的范圍，綜上，得到a+c的范圍．

解答：解：∵2B=A+C，且A+B+C=π，
∴B=

π

3

，即cosB=

1

2

，又b=2，
∴根據(jù)余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

，即ac=a²+c²-4，
∴ac+4=a²+c²≥2ac，即ac≤4，
∴（a+c）²=a²+c²+2ac=4+3ac≤16，又a+c＞b=2，
則a+c的取值范圍是（2，4]．
故答案為：（2，4]

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，基本不等式，以及三角形的邊角關(guān)系，余弦定理很好的建立了三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握余弦定理，靈活運(yùn)用基本不等式是解本題的關(guān)鍵．