Question

如圖，四棱錐S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點，平面EDC⊥平面SBC．
（Ⅰ）證明：DE⊥SC
（Ⅱ）求四棱錐E-ABCD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）DE⊥SC?DE⊥面SBC?

DE⊥BC DE⊥BF

?

BF⊥面CDE BC⊥面SBD

?

面SBC⊥面BDE 面SBD⊥面ABCD

，以下由已知易證；
（2）由（1）DE是Rt△SBD的高，而SD、BD容易求得，底面ABCD是直角梯形，各邊長都已知，因此面積可求，代入公式可求得四棱錐E-ABCD的體積．

解答： 解：（1）證明：連接BD，過B作BF⊥CE，垂足為F．
因為平面EDC⊥平面SBC．平面EDC∩平面SBC=EC
BF?面SBC，BF⊥EC，
所以，BF⊥面DEC，所以DE⊥BF，
由題意得：BC⊥BD，BC⊥SD，SD∩BD=D，
所以BC⊥面SBD，又因為DE?面SBD，
所以DE⊥BC，
BC∩BF=B，所以DE⊥面SBC，
所以DE⊥SC．
（2）由（1）知DE⊥SB，SD=2，BD=

2

∴SB=

6

，
∴DE=

2

3

，∴在Rt△BDE中BD=

BD2-DE2

=

6

3

，
∴SE：EB=2：1，
∴E到面ABCD的距離為

1

3

SD=

2

3

，
∴V_E-ABCD=

1

3

(

1

2

×3×1)

2

3

=

1

3

．

點評：本題第一問的關(guān)鍵是把底面梯形研究清楚，然后根據(jù)線線垂直的證明思路尋找條件；而體積的計算問題難點在于選好底面（面積好求），選好高（最好是在一個直角三角形中），而此直角三角形又可以解，三棱錐的體積計算問題為達(dá)以上目的常常采用變換頂點的方法解決問題．