Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n，且滿足2S_n=a_n²+n-4（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，得到關(guān)于數(shù)列{a_n}的關(guān)系式，即可證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵2S_n=a_n²+n-4（n∈N^*）．
∴2S_n+1=a_n+1²+n+1-4．
兩式相減得2S_n+1-2S_n=a_n+1²+n+1-4-（a_n²+n-4），
即2a_n+1=a_n+1²-a_n²+1，
則a_n+1²-2a_n+1+1=a_n²，
即（a_n+1-1）²=a_n²，
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，
∴a_n+1-1=a_n，
即a_n+1-a_n=1
即數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，公差d=1．
（2）∵2S_n=a_n²+n-4，
∴當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=a₁²+1-4，
即a₁²-2a₁-3=0，
解得a₁=3或a₁=-1，（舍）
∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，公差d=1，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=3+n-1=n+2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用數(shù)列的遞推關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的定義是解決本題的關(guān)鍵．