Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²lnx+$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²+3x．
（1）若a=2，求函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$的圖象在點（1，g（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在（$\frac{1}{e}$，e）內(nèi)存在兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，得到g（1），g′（1）的值，代入直線方程即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為y=2lnx和y=-x-$\frac{3}{x}$+（a-1）在區(qū)間（$\frac{1}{e}$，e）有2個不不同的實數(shù)根，求出兩個函數(shù)的值域，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）f（x）=x²lnx+$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²+3x，定義域是（0，+∞），
a=2時，g（x）=xlnx+$\frac{1}{3}$x²-x+3，g′（x）=lnx+$\frac{2}{3}$x，
∴g（1）=$\frac{7}{3}$，g′（1）=$\frac{2}{3}$，
∴過（1，$\frac{7}{3}$），斜率是$\frac{2}{3}$的直線方程是：
y-$\frac{7}{3}$=$\frac{2}{3}$（x-1），整理得：2x-3y+5=0；
（2）f′（x）=2xlnx+x²+（1-a）x+3，x∈（$\frac{1}{e}$，e），
若函數(shù)f（x）在（$\frac{1}{e}$，e）內(nèi)存在兩個極值點，
則2xlnx+x²+（1-a）x+3=0在區(qū)間（$\frac{1}{e}$，e）有2個不相等實數(shù)根，
即y=2lnx和y=-x-$\frac{3}{x}$+（a-1）在區(qū)間（$\frac{1}{e}$，e）有2個不不同的實數(shù)根，
而y=2lnx在（$\frac{1}{e}$，e）的值域是（-2，2），
y=-x-$\frac{3}{x}$+（a-1）在（$\frac{1}{e}$，$\sqrt{3}$）遞增，在（$\sqrt{3}$，e）遞減，
故y=-x-$\frac{3}{x}$+（a-1）在（$\frac{1}{e}$，e）的值域是（-$\frac{1}{e}$-3e+a-1，a-2$\sqrt{3}$-1），
∴只需$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{e}-3e+a-1＞-2}\\{a-2\sqrt{3}-1＜e}\end{array}\right.$即可，
解得：$\frac{1}{e}$+3e-1＜a＜e+2$\sqrt{3}$+1．

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點問題，是一道中檔題．