Question

11．為選拔選手參加“中國(guó)漢字聽(tīng)寫(xiě)大會(huì)”，某中學(xué)舉行了一次“漢字聽(tīng)寫(xiě)大賽”活動(dòng)．為了了解本次競(jìng)賽學(xué)生的成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為n）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖（圖中僅列出了得分在[50，60），[90，100]的數(shù)據(jù)）．

（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x、y的值；
（2）在選取的樣本中，從競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上（含80分）的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生參加“中國(guó)漢字聽(tīng)寫(xiě)大會(huì)”，設(shè)隨機(jī)變量X表示所抽取的3名學(xué)生中得分在[80，90）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
（3）在選取的樣本中，從競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上（含80分）的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生參加“中國(guó)漢字聽(tīng)寫(xiě)大會(huì)”，求所抽取的3名學(xué)生中得分在[80，90）內(nèi)的概率．

Answer 1

分析 （1）由頻率公式和圖求出樣本容量n，由頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求出x、y的值；
（2）先求出分?jǐn)?shù)在[80，90）、[90，100]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，求出抽取的3名學(xué)生中得分在[80，90）的人數(shù)X的可能取值，由概率公式分別求出它們的概率并列出X的分布列，代入公式求出EX．
（3）由排列組合知識(shí)可求得．

解答 解：（1）由題意可知，樣本容量$n=\frac{8}{0.016×10}=50$，$y=\frac{2}{50×10}=0.004$，x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030．
（2）由題意可知，分?jǐn)?shù)在[80，90）內(nèi)的學(xué)生有5人，分?jǐn)?shù)在[90，100]內(nèi)的學(xué)生有2人，共7人．抽取的3名學(xué)生中得分在[80，90）的人數(shù)X的可能取值為1，2，3，則$P（X=1）=\frac{C_5^1C_2^2}{C_7^3}=\frac{5}{35}=\frac{1}{7}$，$P（X=2）=\frac{C_5^2C_2^1}{C_7^3}=\frac{20}{35}=\frac{4}{7}$，$P（X=3）=\frac{C_5^3C_2^0}{C_7^3}=\frac{10}{35}=\frac{2}{7}$．

X	1	2	3
P	$\frac{1}{7}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{2}{7}$

所以X的分布列為
所以$EX=1×\frac{1}{7}+2×\frac{4}{7}+3×\frac{2}{7}=\frac{15}{7}$．
（3）由于競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上（含80分）的學(xué)生數(shù)為：（0.010+0.004）×10×50=7，分?jǐn)?shù)在[80，90）內(nèi)的學(xué)生有5人，
∴抽取的3名學(xué)生中得分在[80，90）內(nèi)的概率為：$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{7}^{3}}=\frac{2}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查莖葉圖、頻率分布直方圖，考查隨機(jī)了的分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的識(shí)圖能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題