Question

5．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=$\frac{1}{2}$公比q＞0，S₁+a₁，S₃+a₃，S₂+a₂成等差數(shù)列．
（1）求a_n；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{a}_{n}）^{2}}$，c_n=（n+1）b_nb_n+2，求數(shù)列{c_n}的前項和T_n．

Answer 1

分析 （1）運用等差數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得公比q，進而得到所求通項公式；
（2）求得b_n=$\frac{1}{（lo{g}_{2}\frac{1}{{2}^{n}}）^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$，c_n=（n+1）b_nb_n+2=（n+1）•$\frac{1}{{n}^{2}•（n+2）^{2}}$=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]，運用數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）由S₁+a₁，S₃+a₃，S₂+a₂成等差數(shù)列，
可得2（S₃+a₃）=S₂+a₂+S₁+a₁，
即有2a₁（1+q+2q²）=3a₁+2a₁q，
化為4q²=1，公比q＞0，
解得q=$\frac{1}{2}$．
則a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
（2）b_n=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{a}_{n}）^{2}}$=$\frac{1}{（lo{g}_{2}\frac{1}{{2}^{n}}）^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$，
c_n=（n+1）b_nb_n+2=（n+1）•$\frac{1}{{n}^{2}•（n+2）^{2}}$=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]，
則前n項和T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n-1+c_n
=$\frac{1}{4}$[1-$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$-$\frac{1}{{5}^{2}}$+…+$\frac{1}{（n-1）^{2}}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]
=$\frac{1}{4}$[1+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]=$\frac{1}{4}$[$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式的運用和等差數(shù)列的中項的性質(zhì)，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．