Question

7．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左頂點為A，上項點為B，M（1，0），N（n，0），|MB|=$\sqrt{2}$，|AM|=3．過點M作直線l（與x軸不重合），直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，且有NP⊥NQ．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求實數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件M（1，0），|MB|=$\sqrt{2}$，可知b=1，再由|AM|=3，可得a=2，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）討論當(dāng)直線l斜率不存在時，直線的斜率垂直，求出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量垂直的條件：數(shù)量積為0，解不等式可得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）B為上項點，M（1，0），|MB|=$\sqrt{2}$，可知b=1，
又|AM|=3，且左頂點為A，所以a=2，
所以橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）當(dāng)直線l斜率不存在時，方程為x=1，易得P（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），Q（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
因為NP⊥NQ，所以N在以M為圓心，$\frac{\sqrt{3}}{2}$為半徑的圓上，又N（n，0），
所以可得n=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或n=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
當(dāng)直線l斜率存在且不為0時，設(shè)方程為y=k（x-1），聯(lián)立$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1可得，
（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），所以x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，（*）
因為NP⊥NQ，所以$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{NQ}$=0，即（x₁-n）（x₂-n）+y₁y₂=0，
所以（1+k²）x₁x₂-（n+k²）（x₁+x₂）+n²+k²=0，
將（*）式代入整理得（4n²-8n+1）k²+n²-4=0，
所以k²=$\frac{4-{n}^{2}}{4{n}^{2}-8n+1}$＞0，可得-2＜n＜1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜n＜2；
綜上可知：-2＜n≤1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤n＜2．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，注意聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．