Question

2．已知函數(shù)f（x）=4x³-3x²cosθ+$\frac{3}{16}$cosθ其中x∈R，θ為參數(shù)，且0≤θ≤2π．
（1）當(dāng)cosθ=0時(shí)，判斷函數(shù)f（x）是否有極值；
（2）要使函數(shù)f（x）的極小值大于零，求參數(shù)θ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過cosθ=0，化簡函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)f（x）是否有極值；
（2）通過f′（x）=0，求出極值點(diǎn)x₁=0，x₂=$\frac{cosθ}{2}$．判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解使函數(shù)f（x）在R上的極小值大于零，參數(shù)θ的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)cosθ=0時(shí)，f（x）=4x³，f′（x）=12x²≥0，
則f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，故無極值．
（2）f′（x）=12x²-6xcosθ，令f′（x）=0，可得x₁=0，x₂=$\frac{cosθ}{2}$．
當(dāng)cosθ＞0時(shí)，容易判斷f（x）在（-∞，0]，$[\frac{cosθ}{2}，+∞）$上是增函數(shù)，
在$[0，\frac{cosθ}{2}]$上是減函數(shù)，
故f（x）在x=$\frac{cosθ}{2}$處取得極小值：f（$\frac{cosθ}{2}$）=$-\frac{1}{4}$${cos}^{3}θ+\frac{3}{16}cosθ$．
由$f（\frac{cosθ}{2}）＞0$，即$-\frac{1}{4}{cos}^{3}θ+\frac{3}{16}cosθ$＞0，可得$0＜cosθ＜\frac{\sqrt{3}}{2}$，由于0≤θ≤2π，
$\frac{π}{6}＜θ＜\frac{π}{2}$或故$\frac{3π}{2}＜θ＜\frac{11π}{6}$．
同理，可知當(dāng)cosθ＜0時(shí)，f（x）在x=0處取極小值f（0）=$\frac{3}{16}$cosθ＞0，
即cosθ＞0，與cosθ＜0矛盾，
所以當(dāng)cosθ＜0時(shí)，f（x）的極小值不會(huì)大于零．
綜上，要使函數(shù)f（x）在R上的極小值大于零，參數(shù)θ的取值范圍為$（\frac{π}{6}，\frac{π}{2}）∪（\frac{3π}{2}，\frac{11π}{6}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的對(duì)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，考查計(jì)算能力．