Question

下列命題中，真命題是（　�。�

• A、存在一個(gè)△ABC，使a²=b²+c²-3bccosA（a，b，c是三邊長(zhǎng)，a是內(nèi)角A的對(duì)邊）
• B、?x∈（1，+∞），log_0.5x＞0
• C、冪函數(shù) f（x）=（m-1）x^m-3在定義域上是減函數(shù)
• D、a＞1，b＞1是ab＞1的必要條件

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：A，△ABC中，利用余弦定理，結(jié)合a²=b²+c²-3bccosA即可判斷其正誤；
B，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可判斷B的正誤；
C，通過(guò)對(duì)m取值范圍的討論，利用函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；
D，利用充分、必要條件的概念判斷即可．

解答： 解：A，在△ABC，由余弦定理知，a²=b²+c²-2bccosA，若存在一個(gè)△ABC，使a²=b²+c²-3bccosA，
則b²+c²-2bccosA=b²+c²-3bccosA，
∴cosA=0，
在△ABC中，當(dāng)A=

π

2

時(shí)，a²=b²+c²-3bccosA=a²=b²+c²成立，故A正確；
B，?x∈（1，+∞），log_0.5x＜0，故B錯(cuò)誤；
C，當(dāng)

m-1＜0 m-3＜0

，即m＜1時(shí)，不妨取m=0，f（x）=-x^-3在（-∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞增；
同理當(dāng)m＞3時(shí)，不妨令m=4，f（x）=3x在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)1＜m＜3時(shí)，不妨取m=2，f（x）=

1

x

在（-∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞減，但在其定義域上并不是減函數(shù)；
當(dāng)m=1與m=3時(shí)，均不滿足題意；
故C錯(cuò)誤；
D，a＞1，b＞1⇒ab＞1，即充分性成立，反之不成立，如a=

1

2

，b=4，滿足ab=2＞1，但不能⇒a＞1，b＞1，即必要性不成立，故D錯(cuò)誤；
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查余弦定理、充分、必要條件的概念判斷、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．