Question

15．已知f（x）=|2x-4|，g（x）=|x+3|．
（1）解不等式f（x）+g（x）＞7；
（2）令h（x）=f（x）+2g（x），求h（x）的最小值，并求出當(dāng)h（x）取的最小值時(shí)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把要求得不等式去掉絕對(duì)值，化為與之等價(jià)的3個(gè)不等式組，求得每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用絕對(duì)值三角不等式求得h（x）的最小值，可得此時(shí)x的取值范圍．

解答 解：（1）不等式f（x）+g（x）＞7，即|2x-4|+|x+3|＞7，、
等價(jià)于 $\left\{\begin{array}{l}{x＜-3}\\{4-2x-x-3＞7}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-3≤x≤2}\\{4-2x+x+3＞7}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{2x+4+x+3＞7}\end{array}\right.$③．
解①求得 x＜-3，解②求得-3≤x＜0，解③求得x＞$\frac{8}{3}$，
綜上可得，不等式的解集為（∞，0）∪（$\frac{8}{3}$，+∞）．
（2）h（x）=f（x）+2g（x）=|2x-4|+|2x+6|≥|2x-4-（2x+6）|=10，
故h（x）的最小值為10．此時(shí)，-3≤x≤2，
故當(dāng)h（x）取的最小值時(shí)x的取值范圍為[-3，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值三角不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．