Question

【題目】五一節(jié)期間，某商場(chǎng)為吸引顧客消費(fèi)推出一項(xiàng)優(yōu)惠活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：消費(fèi)額每滿100元可轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤一次，并獲得相應(yīng)金額的返券．（假定指針等可能地停在任一位置，指針落在區(qū)域的邊界時(shí)，重新轉(zhuǎn)一次）指針?biāo)�在的區(qū)域及對(duì)應(yīng)的返劵金額見表．
例如：消費(fèi)218元，可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和．

（1）已知顧客甲消費(fèi)后獲得n次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)，已知他每轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤指針落在區(qū)域邊界的概率為p，每次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的結(jié)果相互獨(dú)立，設(shè)ξ為顧客甲轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤指針落在區(qū)域邊界的次數(shù)，ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ= ，方差Dξ= ，求n、p的值；
（2）顧客乙消費(fèi)280元，并按規(guī)則參與了活動(dòng)，他獲得返券的金額記為η（元）．求隨機(jī)變量η的分布列和數(shù)學(xué)期望．

指針位置	A區(qū)域	B區(qū)域	C區(qū)域
返券金額（單位：元）	60	30	0

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意知，ξ服從二項(xiàng)分布ξ～B（n，p），

∴ ，

又 ，

聯(lián)立解得： ．

（2）解：設(shè)指針落在A，B，C區(qū)域分別記為事件A，B，C．

則 ．

由題意得，該顧客可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤2次．

隨機(jī)變量η的可能值為0，30，60，90，120．

，

，

，

，

∴隨機(jī)變量η的分布列為：

P	0	30	60	90	120
η

其數(shù)學(xué)期望

【解析】（1）依題意知，ξ服從二項(xiàng)分布ξ～B（n，p），由此利用二項(xiàng)分布的性質(zhì)能求出n、p的值．（2）設(shè)指針落在A，B，C區(qū)域分別記為事件A，B，C．則 ．由題意得，該顧客可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤2次．隨機(jī)變量η的可能值為0，30，60，90，120，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量η的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)，掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡稱分布列．