分析 (1)由3bcos A=ccos A+acosC,可得3sinBcos A=sinCcos A+sinAcosC,化為:3cosA=1.可得sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$,可得tanA=$\frac{sinA}{cosA}$.
(2)32=a2=b2+c2-2bccosA,再利用基本不等式的性質(zhì)可得bc≤24.利用S△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$即可得出.
解答 解:(1)∵3bcos A=ccos A+acosC,∴3sinBcos A=sinCcos A+sinAcosC=sin(A+C)=sinB.
sinB≠0,化為:cosA=$\frac{1}{3}$,∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,可得tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$2\sqrt{2}$.
(2)32=a2=b2+c2-2bccosA≥2bc$-2bc×\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$bc,可得bc≤24,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2$\sqrt{6}$取等號(hào).
∴S△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$≤$\frac{1}{2}×24×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=8$\sqrt{2}$.
∴當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2$\sqrt{6}$時(shí),△ABC的面積的最大值為8$\sqrt{2}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理余弦定理、三角形面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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A. | -3 | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $-\frac{1}{2}$ | D. | 2 |
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A. | $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$ | B. | $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$ | C. | $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$ | D. | $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$ |
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$ | C. | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | D. | $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$ |
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A. | $\frac{3}{2}+\frac{3}{2}i$ | B. | $\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$ | C. | $\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$ | D. | $\frac{3}{2}-\frac{3}{2}i$ |
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A. | {2,3,4} | B. | {1,2,3,4,5} | C. | {2,3} | D. | T |
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