Question

9．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=4，AA₁=2，則直線BC₁與平面BB₁D₁D所成角的正弦值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出BC₁與平面BB₁D₁D所成的角的正弦值．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（2，2，0），C₁（0，2，1），D（0，0，0），D₁（0，0，1），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，0，1），
設(shè)平面BB₁D₁D的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{D}_{1}}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
設(shè)BC₁與平面BB₁D₁D所成的角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴BC₁與平面BB₁D₁D所成的角的正弦值為：$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．