Question

設(shè)曲線y=2014xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點（1，2014）處的切線與x軸的交點的橫坐標為x_n，令a_n=log₂₀₁₄x_n，則a₁+a₂+…+a₂₀₁₃的值為（　�。�

Answer 1

分析：根據(jù)題設(shè)條件，利用導(dǎo)數(shù)先求出切線方程，進而求出x_n，從而得到a_n，再由對數(shù)的運算法則能求出結(jié)果．

解答：解：∵曲線y=2014xⁿ⁺¹（n∈N^*），
∴y′=2014（n+1）xⁿ，
∴y′|_x=1=2014（n+1），
∴曲線y=2014xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點（1，2014）處的切線方程為：
y-2014=2014（n+1）（x-1），
令y=0，解得切線與x軸的交點的橫坐標為x_n=x=

n

n+1

，
∵a_n=log₂₀₁₄x_n=log2014

n

n+1

，
∴a₁+a₂+…+a₂₀₁₃
=log2014

1

2

+log2014

2

3

+log2014

3

4

+…+log2014

2013

2014

=log2014(

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

2013

2014

)
=log2014

1

2014

=-1．
故選D．

點評：本題考查數(shù)列求和，涉及到導(dǎo)數(shù)、對數(shù)、數(shù)列等知識點，是一道構(gòu)思巧妙的好題．