【題目】已知橢圓C：（）的左、右焦點分別為、，離心率為，點P是橢圓C上的一個動點，且面積的最大值為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）橢圓C與x軸交于A、B兩點，直線和與直線l：分別交于點M，N，試探究以為直徑的圓是否恒過定點，若是，求出所有定點的坐標：若否，請說明理由.

【答案】（1）；（2）過定點，和

【解析】

（1）根據(jù)的一邊為定值，由此可知當P為C的短軸頂點時，面積最大，再結(jié)合題目條件，即可解出，得到橢圓C的方程；

（2）由（1）中方程，不妨設(shè)，，根據(jù)，設(shè)直線的方程為，即可得直線的方程為，與直線聯(lián)立，可得到點的坐標，由此得到以為直徑的圓的方程，即可求出所有定點的坐標．

（1）∵橢圓C的離心率為，當P為C的短軸頂點時，

的面積有最大值.

∴，解得，

故橢圓C的方程為：.

（2）不妨設(shè)，，，

則，

設(shè)：，∴：，

所以，，

以為直徑的圓是，即

令，得，解得，，

故以為直徑的圓恒過和．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：（）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設(shè)F為橢圓C的左焦點，T為直線上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q.

（i）證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標原點）；

（ii）當最小時，求點T的坐標.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點A，B的坐標分別是（，0），（，0），動點M（x，y）滿足直線AM和BM的斜率之積為﹣3，記M的軌跡為曲線E．

（1）求曲線E的方程；

（2）直線y＝kx+m與曲線E相交于P，Q兩點，若曲線E上存在點R，使得四邊形OPRQ為平行四邊形（其中O為坐標原點），求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2020年是我國垃圾分類逐步凸顯效果關(guān)鍵的一年.在國家高度重視，重拳出擊的前提下，高強度、高頻率的宣傳教育能有效縮短我國生活垃圾分類走入世界前列所需的時間，打好垃圾分類這場“持久戰(zhàn)”，“全民戰(zhàn)”.某市做了一項調(diào)查，在一所城市中學(xué)和一所縣城中學(xué)隨機各抽取15名學(xué)生，對垃圾分類知識進行問答，滿分為100分，他們所得成績?nèi)缦拢?/span>

城市中學(xué)學(xué)生成績分別為：73 71 83 86 92 70 88 93 73 97 87 88 74 86 85

縣城中學(xué)學(xué)生成績分別為：60 64 71 91 60 76 72 85 81 72 62 74 73 63 72

（1）根據(jù)上述兩組數(shù)據(jù)在圖中完成兩所中學(xué)學(xué)生成績的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩所中學(xué)學(xué)生成績的平均分及分散程度；（不要求計算出具體值，給出結(jié)論即可）

（2）從城市中學(xué)成績在80分以上的學(xué)生中抽取4名，記這4名學(xué)生的成績在90分以上的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2020元旦聯(lián)歡晚會上,,兩班各設(shè)計了一個摸球表演節(jié)目的游戲：班在一個紙盒中裝有1個紅球,1個黃球,1個白球,這些球除顏色外完全相同,記事件：同學(xué)們有放回地每次摸出1個球,重復(fù)次,次摸球中既有紅球,也有黃球,還有白球；班在一個紙盒中裝有1個藍球,1個黑球,這些球除顏色外完全相同,記事件：同學(xué)們有放回地每次摸出1個球,重復(fù)次,次摸球中既有藍球,也有黑球,事件發(fā)生的概率為,事件發(fā)生的概率為．

（1）求概率,及,；

（2）已知,其中,為常數(shù),求．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，是以為直徑的圓上一點，，等腰梯形所在的平面垂直于⊙所在的平面，且.

（1）求與所成的角；

（2）若異面直線和所成的角為，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】今年，新型冠狀病毒來勢兇猛，老百姓一時間“談毒色變”，近來，有關(guān)喝白酒可以預(yù)防病毒的說法一直在民間流傳，更有人拿出“醫(yī)”字的繁體字“醫(yī)”進行解讀為：醫(yī)治瘟疫要喝酒，為了調(diào)查喝白酒是否有助于預(yù)防病毒，我們調(diào)查了1000人的喝酒生活習(xí)慣與最終是否得病進行了統(tǒng)計，表格如下：

每周喝酒量（兩）

人數(shù)

100

300

450

100

規(guī)定：①每周喝酒量達到4兩的叫常喝酒人，反之叫不常喝酒人；

②每周喝酒量達到8兩的叫有酒癮的人.

（1）求值，從每周喝酒量達到6兩的人中按照分層抽樣選出6人，再從這6人中選出2人，求這2人中無有酒癮的人的概率；

（2）請通過上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，填寫完下面的列聯(lián)表，并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為是否得病與是否常喝酒有關(guān)？并對民間流傳的說法做出你的判斷.

常喝酒

不常喝酒

合計

得病

不得病

250

650

合計

參考公式：，其中

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓C：(a＞b＞0)的短軸長為2，F1，F2分別是橢圓C的左、右焦點，過點F2的動直線與橢圓交于點P，Q，過點F2與PQ垂直的直線與橢圓C交于A、B兩點.當直線AB過原點時，PF1＝3PF2.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若點H(3，0)，記直線PH，QH，AH，BH的斜率依次為，，，.

①若，求直線PQ的斜率；

②求的最小值.

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