Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)為2，F1，F2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2的動(dòng)直線與橢圓交于點(diǎn)P，Q，過(guò)點(diǎn)F2與PQ垂直的直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn).當(dāng)直線AB過(guò)原點(diǎn)時(shí)，PF1＝3PF2.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)H(3，0)，記直線PH，QH，AH，BH的斜率依次為，，，.

①若，求直線PQ的斜率；

②求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）①或②

【解析】

（1）已知條件有，直線AB過(guò)原點(diǎn)時(shí)，PQx軸，所以△PF1F2為直角三角形，利用橢圓定義和勾股定理可求得，得橢圓方程；

（2）①設(shè)直線PQ：，代入到橢圓方程得后化簡(jiǎn)，設(shè)P(，)，Q(，)，應(yīng)用韋達(dá)定理得，，計(jì)算并代入可得；

②分類討論，當(dāng)這兩條直線中有一條與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，，

當(dāng)兩條直線與坐標(biāo)軸都不垂直時(shí)，由①知，同理可得，計(jì)算后應(yīng)用基本不等式可得最小值．

解：（1）因?yàn)闄E圓C：(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)為2，所以b＝1，

當(dāng)直線AB過(guò)原點(diǎn)時(shí)，PQx軸，所以△PF1F2為直角三角形，

由定義知PF1＋PF2＝2a，而PF1＝3PF2，故，，

由得，化簡(jiǎn)得a2＝2，

故橢圓的方程為.

（2）①設(shè)直線PQ：，代入到橢圓方程得：，設(shè)P(，)，Q(，)，則，，

所以

所以，

解得：或，即為直線PQ的斜率.

②當(dāng)這兩條直線中有一條與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，，

當(dāng)兩條直線與坐標(biāo)軸都不垂直時(shí)，

由①知，同理可得

故

，

當(dāng)且僅當(dāng)即k＝1時(shí)取等號(hào).

綜上，的最小值為.