分析:(I)由題意得:
⇒
,F(xiàn)
1,F(xiàn)
2的坐標(biāo)分別為:(-
,0),(
,0).設(shè)點P(x,y)與F
1,F(xiàn)
2的距離之比為
,得出P所在的曲線C
2是一個圓心在(-
,0)半徑為:
的圓,利用圓的性質(zhì)即可求出直線
x-y+=0被點P所在的曲線C
2截得的弦長.
(II)先設(shè)Q(s,t),由題意直線QA
1的方程,直線QA
2的方程.由于橢圓右準(zhǔn)線方程為x=
=2
,F(xiàn)
2(
,0),求出直線QA
1.QA
2分別交橢圓的右準(zhǔn)線于M、N點最后利用斜率公式證得
kMF 2•k NF 2=-1即可.
解答:解:由題意得:
⇒
,F(xiàn)
1,F(xiàn)
2的坐標(biāo)分別為:(-
,0),(
,0).
(I)設(shè)點P(x,y)與F
1,F(xiàn)
2的距離之比為
,
則:
=⇒(x+
)
2+y
2=
,
是一個圓心在(-
,0)半徑為:
的圓,
圓心到直線直線
x-y+=0的距離為d=
=
,
直線
x-y+=0被點P所在的曲線C
2截得的弦長為:
2
=
.
(II)設(shè)Q(s,t),由題意直線QA
1的方程為
+=1,
直線QA
2的方程為
+=1,
由于橢圓右準(zhǔn)線方程為x=
=2
,F(xiàn)
2(
,0),
∵直線QA
1.QA
2分別交橢圓的右準(zhǔn)線于M、N點
∴M(2,
t),N(2,
t)
又P(s,t)在橢圓上,故有
t2=3- 代入整理得
kMF 2•k NF 2=-1∴MF
2⊥NF
2.
點評:本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓的關(guān)系,考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力.