若橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)過點(diǎn)(2,1),離心率為
2
2
,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為其左、右焦點(diǎn).
(Ⅰ)若點(diǎn)P與F1,F(xiàn)2的距離之比為
1
3
,求直線x-
2
y+
3
=0
被點(diǎn)P所在的曲線C2截得的弦長(zhǎng);
(Ⅱ) 設(shè)A1,A2分別為橢圓C1的左、右頂點(diǎn),Q為C1上異于A1,A2的任意一點(diǎn),直線A1Q交C1的右準(zhǔn)線于點(diǎn)M,直線A2Q交C1的右準(zhǔn)線于點(diǎn)N,求證MF2⊥NF2
由題意得:
22
a2
+
12
b2
=1
c
a
=
2
2
?
a=
6
b=
3
c=
3
,F(xiàn)1,F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為:(-
3
,0),(
3
,0).
(I)設(shè)點(diǎn)P(x,y)與F1,F(xiàn)2的距離之比為
1
3
,
則:
(x+
3
) 2+y 2
(x-
3
) 2+y 2 
=
1
3
?(x+
3
3
4
2+y2=
27
16
,
是一個(gè)圓心在(-
3
3
4
,0)半徑為:
3
3
4
的圓,
圓心到直線直線x-
2
y+
3
=0
的距離為d=
3
4
3
=
1
4
,
直線x-
2
y+
3
=0
被點(diǎn)P所在的曲線C2截得的弦長(zhǎng)為:
2
27
16
-
1
16
=
26
2

(II)設(shè)Q(s,t),由題意直線QA1的方程為
y
t
+
x-
6
s+
6
=1
,
直線QA2的方程為
y
t
+
x+
6
s-
6
=1

由于橢圓右準(zhǔn)線方程為x=
a2
c
=2
3
,F(xiàn)2
3
,0),
∵直線QA1.QA2分別交橢圓的右準(zhǔn)線于M、N點(diǎn)
∴M(2,
6
s+
6
t
),N(2,
2
s-
6
t

又P(s,t)在橢圓上,故有t2=3-
s2
2
 代入整理得
kMF 2•k NF 2=-1
∴MF2⊥NF2
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)與雙曲線 C2:x2-
y2
4
=1
有公共的焦點(diǎn),C2的一條漸近線與以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于A,B兩點(diǎn),若C1恰好將線段AB三等分,則橢圓C1的離心率為 ( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
過點(diǎn)(2,
3
)
,且它的離心率e=
1
2
.直線l:y=kx+t與橢圓C1交于M、N兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)當(dāng)k=
3
2
時(shí),求證:M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方和為定值;
(Ⅲ)若直線l與圓C2:(x-1)2+y2=1相切,橢圓上一點(diǎn)P滿足
OM
+
ON
OP
,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)過點(diǎn)(2,1),離心率為
2
2
,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為其左、右焦點(diǎn).
(Ⅰ)若點(diǎn)P與F1,F(xiàn)2的距離之比為
1
3
,求直線x-
2
y+
3
=0
被點(diǎn)P所在的曲線C2截得的弦長(zhǎng);
(Ⅱ) 設(shè)A1,A2分別為橢圓C1的左、右頂點(diǎn),Q為C1上異于A1,A2的任意一點(diǎn),直線A1Q交C1的右準(zhǔn)線于點(diǎn)M,直線A2Q交C1的右準(zhǔn)線于點(diǎn)N,求證MF2⊥NF2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
與拋物線C2:x2=2py(p>0)的一個(gè)交點(diǎn)為M,拋物線C2在點(diǎn)M處的切線過橢圓C1的右焦點(diǎn)F.
(Ⅰ)若M(2,
2
5
5
)
,求C1和C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)求橢圓C1離心率的取值范圍.

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