Question

3．已知函數(shù)f（x）=|x-4|-t，t∈R，且關(guān)于x的不等式f（x+2）＜2的解集為（-1，5）．
（Ⅰ）求t的值；
（Ⅱ）設(shè)a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=t，求證：$\frac{{a}^{2}}+\frac{^{2}}{c}+\frac{{c}^{2}}{a}$≥1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出不等式的解集，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系求出t的值即可；（Ⅱ）求出a+b+c=1，根據(jù)柯西不等式的性質(zhì)證明即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x+2）＜2，即|x-2|-t＜2，
故|x-2|＜t+2，解得：-t＜x＜4+t，
由不等式的解集是（-1，5），
故$\left\{\begin{array}{l}{-t=-1}\\{t+4=5}\end{array}\right.$，解得：t=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）t=1，故a+b+c=1，
∴$\frac{{a}^{2}}+\frac{^{2}}{c}+\frac{{c}^{2}}{a}$
=（$\frac{{a}^{2}}+\frac{^{2}}{c}+\frac{{c}^{2}}{a}$）（a+b+c）
≥$\frac{a}{\sqrt}$•$\sqrt$+$\frac{\sqrt{c}}$•$\sqrt{c}$+$\frac{c}{\sqrt{a}}$•$\sqrt{a}$
=a+b+c=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查柯西不等式的應(yīng)用，是一道中檔題．