Question

5．已知$\overrightarrow{a}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow$（sin$\frac{πx}{4}$，cos$\frac{πx}{4}$），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$?
（1）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間?
（2）若函數(shù)g（x）=f（2-x），求當(dāng)x∈[0，$\frac{4}{3}$]時(shí)，y=g（x）的最大值?

Answer 1

分析 （1）由數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得f（x），然后直接利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求法求得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由g（x）=f（2-x）求得g（x）的解析式，再由x∈[0，$\frac{4}{3}$]求出相位的范圍，從而求得當(dāng)x∈[0，$\frac{4}{3}$]時(shí)，y=g（x）的最大值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow$（sin$\frac{πx}{4}$，cos$\frac{πx}{4}$），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin\frac{πx}{4}-\frac{3}{2}cos\frac{πx}{4}$=$\sqrt{3}sin（\frac{πx}{4}-\frac{π}{3}）$．
∴當(dāng)$\frac{πx}{4}-\frac{π}{3}∈[\frac{π}{2}+2kπ，\frac{3π}{2}+2kπ]$時(shí)，f（x）單調(diào)遞減．
解得：$x∈[\frac{10}{3}+8k，\frac{22}{3}+8k]，k∈Z$，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$[\frac{10}{3}+8k，\frac{22}{3}+8k]，k∈Z$；
（2）由（1）可知$f（x）=\sqrt{3}sin（\frac{πx}{4}-\frac{π}{3}）$，
∴$g（x）=f（2-x）=\sqrt{3}sin[\frac{π（2-x）}{4}-\frac{π}{3}]$
=$\sqrt{3}sin[\frac{π}{2}-\frac{πx}{4}-\frac{π}{3}]=\sqrt{3}cos（\frac{πx}{4}+\frac{π}{3}）$．
∵x∈[0，$\frac{4}{3}$]，
∴$\frac{πx}{4}+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，
∴cos（$\frac{πx}{4}+\frac{π}{3}$）$∈[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$．
則當(dāng)x=0時(shí)，$g（x）_{max}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查計(jì)算能力，是中檔題．