Question

14．求下列函數(shù)的值域：
（1）y=5${\;}^{\sqrt{1-x}}$；
（2）y=-4^x+2^x+2；
（3）y=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$（x≤1）．

Answer 1

分析 （1）由$\sqrt{1-x}≥0$，根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=5^x的單調(diào)性即可得出該函數(shù)的值域；
（2）可配方得到y(tǒng)=-（2^x-2）²+4，顯然看出y≤4；
（3）先分離常數(shù)，得到$y=1-\frac{1}{{2}^{x}+1}$，可根據(jù)x≤1求出2^x+1的范圍，進而得出$\frac{1}{{2}^{x}+1}$的范圍，從而得出該函數(shù)的值域．

解答 解：（1）$\sqrt{1-x}≥0$；
∴${5}^{\sqrt{1-x}}≥{5}^{0}=1$；
∴該函數(shù)的值域為：[1，+∞）；
（2）y=-4^x+2^x+2=-（2^x）²+4•2^x=-（2^x-2）²+4≤4；
當2^x=2即x=1時取“=”；
∴該函數(shù)的值域為：（-∞，4]；
（3）$y=\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}=\frac{{2}^{x}+1-1}{{2}^{x}+1}=1-\frac{1}{{2}^{x}+1}$；
∵x≤1；
∴2^x+1≤3；
∴2^x+1＜0，或0＜2^x+1≤3；
∴$\frac{1}{{2}^{x}+1}＜0$，或$\frac{1}{{2}^{x}+1}≥\frac{1}{3}$；
∴y＞1，或$y≤\frac{2}{3}$；
∴該函數(shù)的值域為：（$-∞，\frac{2}{3}$]∪（1，+∞）．

點評 考查函數(shù)值域的概念，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，配方法求二次式子的值域，分離常數(shù)法在求值域中的運用，根據(jù)不等式的性質(zhì)求函數(shù)值域．