Question

（本題滿分14分）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)．直線與直線分別與軸交于點(diǎn)，試問以線段為直徑的圓是否過軸上的定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）由題意得，解得，，進(jìn)而求出橢圓的方程．

（2）以線段為直徑的圓過軸上的定點(diǎn)，由得．

設(shè)，則有，，進(jìn)而可得點(diǎn)，可知直線的方程為，故點(diǎn)；直線的方程為，故點(diǎn)，

若以線段為直徑的圓過軸上的定點(diǎn)，則等價(jià)于恒成立．即可得到．解得，進(jìn)而可得以線段為直徑的圓過軸上的定點(diǎn)．

試題解析：【解析】
（1）由題意得，解得，．

所以橢圓的方程是． 4分

（2）以線段為直徑的圓過軸上的定點(diǎn).

由得．

設(shè)，則有，．6分

又因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，所以點(diǎn)．

由題意可知直線的方程為，故點(diǎn)．

直線的方程為，故點(diǎn)． 8分

若以線段為直徑的圓過軸上的定點(diǎn)，則等價(jià)于恒成立． 9分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032406163469288967/SYS201503240617061003257308_DA/SYS201503240617061003257308_DA.028.png">，，

所以恒成立．

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032406163469288967/SYS201503240617061003257308_DA/SYS201503240617061003257308_DA.031.png">，

，

所以．解得．

故以線段為直徑的圓過軸上的定點(diǎn)． 14分

考點(diǎn)：1.橢圓的方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系．