【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx,且0<x1<x2 , 給出下列命題: ① <1
②x2f(x1)<x1f(x2
③當(dāng)lnx>﹣1時(shí),x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1
④x1+f(x1)<x2+f(x2
其中正確的命題序號(hào)是

【答案】②③
【解析】解:f′(x)=lnx+1,

x∈(0, )時(shí),f′(x)<0,∴f(x)在(0, )單調(diào)遞減,

x∈( ,+∞),f′(x)>0,.∴f(x)在( ,+∞)上單調(diào)遞增.

①令g(x)=f(x)﹣x=xlnx﹣x,

則g′(x)=lnx,設(shè)x1,x2∈(1,+∞),

則g′(x)>0,∴函數(shù)g(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),

∴由x2>x1得g(x2)>g(x1);

∴f(x2)﹣x2>f(x1)﹣x1,∴ >1;故①錯(cuò)誤;

②令g(x)= =lnx,則g′(x)= ,(0,+∞)上函數(shù)單調(diào)遞增,

∵x2>x1>0,∴g(x2)>g(x1),∴x2f(x1)<x1f(x2),即②正確,

③當(dāng)lnx1>﹣1時(shí),f(x)單調(diào)遞增,

∴x1f(x1)+x2f(x2)﹣2x2f(x1)=x1[f(x1)﹣f(x2)]+x2[f(x2)﹣f(x1)]=(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0

∴x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),

∵x2f(x1)<x1f(x2),

利用不等式的傳遞性可以得到x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1),故③正確.

④令h(x)=f(x)+x=xlnx+x,則h′(x)=lnx+2,

∴x∈(0, )時(shí),h′(x)<0,

∴函數(shù)h(x)在(0, )上單調(diào)遞減,

設(shè)x1,x2∈(0, ),所以由x1<x2得h(x1)>h(x2),

∴f(x1)+x1>f(x2)+x2,故④錯(cuò)誤;

所以答案是:②③

【考點(diǎn)精析】利用命題的真假判斷與應(yīng)用對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知兩個(gè)命題互為逆否命題,它們有相同的真假性;兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性沒有關(guān)系.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】砂糖橘是柑橘類的名優(yōu)品種,因其味甜如砂糖故名.某果農(nóng)選取一片山地種植砂糖橘,收獲時(shí),該果農(nóng)隨機(jī)選取果樹20株作為樣本測(cè)量它們每一株的果實(shí)產(chǎn)量(單位:kg),獲得的所有數(shù)據(jù)按照區(qū)間(40,45],(45,50],(50,55],(55,60]進(jìn)行分組,得到頻率分布直方圖如圖所示.已知樣本中產(chǎn)量在區(qū)間(45,50]上的果樹株數(shù)是產(chǎn)量在區(qū)間(50,60]上的果樹株數(shù)的.

(1)a,b的值;

(2)從樣本中產(chǎn)量在區(qū)間(50,60]上的果樹里隨機(jī)抽取兩株,求產(chǎn)量在區(qū)間(55,60]上的果樹至少有一株被抽中的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某學(xué)校課題組為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與學(xué)生細(xì)心程度的關(guān)系,在本校隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生進(jìn)行研究.研究結(jié)果表明:在數(shù)學(xué)成績(jī)及格的60名學(xué)生中有45人比較細(xì)心,另15人比較粗心;在數(shù)學(xué)成績(jī)不及格的40名學(xué)生中有10人比較細(xì)心,另30人比較粗心.
(1)試根據(jù)上述數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表;

數(shù)學(xué)成績(jī)及格

數(shù)學(xué)成績(jī)不及格

合計(jì)

比較細(xì)心

比較粗心

合計(jì)


(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與細(xì)心程度有關(guān)系. 參考數(shù)據(jù):獨(dú)立檢驗(yàn)隨機(jī)變量K2的臨界值參考表:

P(K2≥k0

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(其中n=a+b+c+d)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某品牌新款夏裝即將上市,為了對(duì)夏裝進(jìn)行合理定價(jià),在該地區(qū)的三家連鎖店各進(jìn)行了兩天試銷售,得到如下數(shù)據(jù):

連鎖店

A店

B店

C店

售價(jià)x(元)

80

86

82

88

84

90

銷售量y(件)

88

78

85

75

82

66


(1)以三家連鎖店分別的平均售價(jià)和平均銷量為散點(diǎn),求出售價(jià)與銷量的回歸直線方程 ;
(2)在大量投入市場(chǎng)后,銷售量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系,且該夏裝成本價(jià)為40元/件,為使該款夏裝在銷售上獲得最大利潤(rùn),該款夏裝的單價(jià)應(yīng)定為多少元(保留整數(shù))?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】高三(三)班學(xué)生要安排畢業(yè)晚會(huì)的3個(gè)音樂節(jié)目,2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序,要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排,3個(gè)音樂節(jié)目恰有兩個(gè)節(jié)目連排,則不同排法的種數(shù)是(
A.240
B.188
C.432
D.288

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校為了普及環(huán)保知識(shí),增強(qiáng)學(xué)生的環(huán)保意識(shí),在全校組織了一次有關(guān)環(huán)保知識(shí)的競(jìng)賽.經(jīng)過初賽、復(fù)賽,甲、乙兩個(gè)代表隊(duì)(每隊(duì)3人)進(jìn)入了決賽,規(guī)定每人回答一個(gè)問題,答對(duì)為本隊(duì)贏得10分,答錯(cuò)得0分.假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為 ,乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為 , , ,且各人回答正確與否相互之間沒有影響,用ξ表示乙隊(duì)的總得分. (Ⅰ)求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)求甲、乙兩隊(duì)總得分之和等于30分且甲隊(duì)獲勝的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】定義在R上的函數(shù)y=f(x)對(duì)任意的x、y∈R,滿足條件:f(x+y)=f(x)+f(y)﹣1,且當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1.
(1)求f(0)的值;
(2)證明:函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù);
(3)解關(guān)于t的不等式f(2t2﹣t)<1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,∠BAD=60°,AC∩BD=O,將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起,得到三棱錐B﹣ACD,點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn),且DM=2
(1)求證:OM∥平面ABD;
(2)求證:平面DOM⊥平面ABC;
(3)求點(diǎn)B到平面DOM的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則不等式的解集為(

A. B.

C. D.

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同步練習(xí)冊(cè)答案