Question

8．如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為3，M，N分別是棱AA₁，AB上
的點，且AM=AN=1．
（Ⅰ）證明：M，N，C，D₁四點共面；
（Ⅱ）求幾何體AMN-DD₁C的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：MN∥A₁B，即可證明M，N，C，D₁四點共面；
（Ⅱ）證明幾何體AMN-DD₁C是一個三棱臺，再求幾何體AMN-DD₁C的體積．

解答 （Ⅰ）證明：∵A₁D₁∥AD，A₁D₁=AD，
又BC∥AD，BC=AD，∴A₁D₁∥BC且A₁D₁=BC
連接A₁B，則四邊形A₁BCD₁是平行四邊形
所以A₁B∥D₁C…（3分）
在△ABA₁中，AM=AN=1，AA₁=AB=3
所以$\frac{AM}{{A{A_1}}}=\frac{AN}{AB}$，所以MN∥A₁B…（6分）
所以MN∥D₁C，所以M，N，C，D₁四點共面．…（7分）
（Ⅱ）解：因為平面ABB₁A₁∥平面DCC₁D₁，
又M，N，C，D₁四點共面．　
所以平面AMN∥平面DD₁C
延長CN與DA相交于點P，
因為AN∥DC
所以$\frac{AN}{DC}=\frac{PA}{PD}$，即$\frac{1}{3}=\frac{PA}{PA+3}$，解得$PA=\frac{3}{2}$，
同理可得$QA=\frac{3}{2}$，所以點P與點Q重合
所以D₁M，DA，CN三線相交于一點，
所以幾何體AMN-DD₁C是一個三棱臺，…（10分）
所以${V_{AMN-D{D_1}C}}=\frac{1}{3}×（{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}×\frac{9}{2}}+\frac{9}{2}}）×3=\frac{13}{2}$…（14分）

點評 本題考查四點共面的證明，考查求幾何體AMN-DD₁C的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．