Question

18．已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B⊥平面ABC，∠ABC=90°，B₁B=AB=2BC=4，D、E分別是B₁C₁，A₁A的中點．
（1）求證：A₁D∥平面B₁CE；
（2）設(shè)M是的中點，N在棱AB上，且BN=1，P是棱AC上的動點，直線NP與平面MNC所成角為θ，試問：θ的正弦值存在最大值嗎？若存在，請求出$\frac{AP}{AC}$的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）法一（幾何法）：連結(jié)BC₁，與B₁C交于點O，連結(jié)EO，DO，推導出四邊形A₁EOD是平行四邊形，從而A₁D∥EO，由此能證明A₁D∥平面B₁CE．
法二（向量法）：建立空間直角坐標系B-xyz，利用向量法能證明A₁D∥平面B₁CE．
（2）建立空間直角坐標系B-xyz，利用向量法求出存在符合題意的點P，且$\frac{AP}{AC}$=$\frac{3}{8}$．

解答 證明：（1）證法一（幾何法）：
連結(jié)BC₁，與B₁C交于點O，連結(jié)EO，DO，
在△B₁BC₁中，DO$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$B₁B，
在四邊形B₁BA₁A中，A₁E$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$B₁B，
∴A₁E$\underset{∥}{=}$DO，∴四邊形A₁EOD是平行四邊形，∴A₁D∥EO
∵A₁D?平面B₁CE，EO?平面B₁CE，
∴A₁D∥平面B₁CE．
證法二（向量法）：
如圖，建立空間直角坐標系B-xyz，
由已知得A（4，0，0），C（0，2，0），B₁（0，0，4），C₁（0，2，4），D（0，1，4），E（4，0，2），
則$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-4，1，0），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（0，2，-4），$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（4，0，-2），
設(shè)平面B₁CE的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}C}=y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}E}=2x-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，4，2），
∵$\overrightarrow{{A}_{1}D}•\overrightarrow{n}$=-4+4=0，且A₁D?平面B₁CE，
∴A₁D∥平面B₁CE．
解：（2）設(shè)存在符合題意的點P．
如圖，建立空間直角坐標系B-xyz，
由已知得A（4，0，0），C（0，2，0），M（2，0，3），N（1，0，0），
則$\overrightarrow{MN}$=（-1，0，-3），$\overrightarrow{NC}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{AC}$=（-4，2，0），
設(shè)平面MNC的一個法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MN}=-x-3z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{NC}=-x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=6，得$\overrightarrow{m}$=（6，3，-2），
設(shè)$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{AC}$，（0≤λ≤1），則$\overrightarrow{NP}$=$\overrightarrow{NA}+λ\overrightarrow{AC}$=（3-4λ，2λ，0），
由題設(shè)得sinθ=|cos＜$\overrightarrow{NP}，\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{NP}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{NP}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{|6（3-4λ）+6λ|}{\sqrt{49}•\sqrt{（3-4λ）^{2}+4{λ}^{2}}}$=$\frac{18（1-λ）}{7\sqrt{20{λ}^{2}-24{λ}^{2}+9}}$，
設(shè)t=1-λ（0≤λ≤1），則λ=1-t，且0≤t≤1，
∴sinθ=$\frac{18t}{7\sqrt{20{t}^{2}-16t+5}}$，
當t=0時，sinθ=0，
當0＜t≤1時，sinθ=$\frac{18}{7\sqrt{\frac{5}{{t}^{2}}-\frac{16}{t}+20}}$=$\frac{18}{7\sqrt{（\frac{1}{t}-\frac{8}{5}）^{2}+\frac{36}{5}}}$≤$\frac{18}{7•\frac{6}{\sqrt{5}}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{7}$．
∴當且僅當$\frac{1}{t}=\frac{8}{5}$，即t=$\frac{5}{8}$時，sinθ取得最大值$\frac{3\sqrt{5}}{7}$，此時λ=$\frac{3}{8}$．
∴存在符合題意的點P，且$\frac{AP}{AC}$=$\frac{3}{8}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查滿足條件的角的正弦值的最大值是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．