Question

10．如圖，設(shè)P是圓x²+y²=6上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為線段PD上一點，且$|{DP}|=\sqrt{2}|{DM}|$．
（1）當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；
（2）直線$x+y-\sqrt{3}=0$與曲線C相交于E、G兩點，F(xiàn)、H為曲線C上兩點，若四邊形EFGH對角線相互垂直，求S_EFGH的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意P是圓x²+y²=6上的動點，點D是P在x軸上的射影，M為PD上一點，且$|{DP}|=\sqrt{2}|{DM}|$，利用相關(guān)點法即可求軌跡；
（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，求出|EG|，再由題意設(shè)出FH所在直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式求得|FH|的最大值，代入四邊形面積公式求得答案．

解答 解：（1）設(shè)M的坐標為（x，y），P的坐標為（x_p，y_p）
由已知$|{DP}|=\sqrt{2}|{DM}|$得：x_p=x，y_p=$\sqrt{2}$y，
∵P是圓x²+y²=6上的動點，
∴x²+2y²=6，即$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-\sqrt{3}=0}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得$3{x}^{2}-4\sqrt{3}x=0$．
解得：${x}_{E}=0，{x}_{G}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴|EG|=$\sqrt{2}|{x}_{E}-{x}_{G}|$=$\sqrt{2}×\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
由題意可設(shè)F、H所在直線方程為y=x+m．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-6=0．
由△=16m²-12（2m²-6）=-8m²+72＞0，得-3＜m＜3．
${x}_{F}+{x}_{H}=-\frac{4m}{3}$，${x}_{F}•{x}_{H}=\frac{2{m}^{2}-6}{3}$．
|FH|=$\sqrt{2}\sqrt{（-\frac{4m}{3}）^{2}-4•\frac{2{m}^{2}-6}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{72-8{m}^{2}}$．
∴當m=0時，|FH|_max=4．
∴$（{S}_{EFGH}）_{max}=\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{6}}{3}×4=\frac{8\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應用，考查計算能力，屬中檔題．