Question

設定義在R上的函數(shù)f（x）對于任意x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（1）=-2，當x＞0時，f（x）＜0．（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷并證明f（x）在R上的單調性；
（3）當x∈[-2014，2014]，求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)單調性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：綜合題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）令x=y=0求出f（0）=0，再令y=-x代入式子化簡，結合函數(shù)奇偶性的定義，可得f（x）是奇函數(shù)；
（2）設x₁＜x₂，結合f（x+y）=f（x）+f（y）可得f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁），由x＞0時，有f（x）＞0，可得f（x₂）＞f（x₁），證明函數(shù)在R上單調遞減；
（3）再利用賦值法和條件，分別求出函數(shù)最大值和最小值．

解答： 解：（1）令x=y=0，可得f（0）=0，
令y=-x，則f（0）=f（-x）+f（x），
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）為奇函數(shù)，
（2）設x₁＜x₂，令y=-x₁，x=x₂
則f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁），
因為x＞0時，f（x）＜0，
故f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0．
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在R上單調遞減；
（3）f（x）在[-2014，2014]上單調遞減，
∴x=-2014時，f（x）有最大值-2014f（1）=4028，
x=2014時，f（x）有最小值為f（2014）=-4028．

點評：本題考查抽象函數(shù)的性質，涉及函數(shù)奇偶性、單調性的判斷，以及函數(shù)最值，解此類題目，注意賦值法的運用．