Question

1．已知二面角α-l-β的棱上有兩點(diǎn)A，B，P為平面β上一點(diǎn)，PB⊥AB，PA與AB成45°，PA與α成30°角，求這個(gè)二面角的大小．

Answer 1

分析 過P作PO⊥平面α，垂足為O，連結(jié)OB，得到∠PBO是二面角α-l-β的平面角，由此能求出二面角α-l-β的大�。�

解答 解：如圖，過P作PO⊥平面α，垂足為O，連結(jié)OB，
∵PB⊥AB，∴OB⊥AB，∴∠PBO是二面角α-l-β的平面角，
設(shè)AB=1，∵PA與AB成45°，PA與α成30°角，
∴PB=1，PA=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{2}$，PO=$\frac{AB}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
AO=$\sqrt{P{A}^{2}-P{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，OB=$\sqrt{A{O}^{2}-A{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos∠PBO=$\frac{P{B}^{2}+O{B}^{2}-P{O}^{2}}{2×PB×OB}$=$\frac{1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{2×1×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得∠PBO=45°．
∴二面角α-l-β的大小為45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三垂線定理及其逆定理的合理運(yùn)用．