Question

5．已知點P為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右支上的一點，點F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線的一條漸近線的斜率為$\sqrt{7}$，若M為△PF₁F₂的內(nèi)心，且S${\;}_{△PM{F}_{1}}$=S${\;}_{△PM{F}_{2}}$+λS${\;}_{△M{F}_{1}{F}_{2}}$成立，則λ的值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的面積公式以及三角形的面積公式，建立方程關系，結合雙曲線的漸近線斜率以及a，b，c的關系進行求解即可．

解答 解：設內(nèi)切圓的半徑為R，
∵S${\;}_{△PM{F}_{1}}$=S${\;}_{△PM{F}_{2}}$+λS${\;}_{△M{F}_{1}{F}_{2}}$成立，
∴S${\;}_{△PM{F}_{1}}$-S${\;}_{△PM{F}_{2}}$=λS${\;}_{△M{F}_{1}{F}_{2}}$成立，
即$\frac{1}{2}$|PF₁|•R-$\frac{1}{2}$|PF₂|•R=$\frac{1}{2}$•λ|P₁P₂|•R，
即$\frac{1}{2}$×2a•R=$\frac{1}{2}$•λ•2c•R，
∴a=λc，
∵雙曲線的一條漸近線的斜率為$\sqrt{7}$，
∴$\frac{a}$=$\sqrt{7}$，即b=$\sqrt{7}$a=λ$\sqrt{7}$c，
∵a²+b²=c²，
∴λ²c²+7λ²c²=c²，
即8λ²=1，即λ²=$\frac{1}{8}$，
得λ=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{4}$

點評 本題主要考查雙曲線性質(zhì)的應用，根據(jù)三角形的面積公式，建立方程關系是解決本題的關鍵．考查學生的運算和轉(zhuǎn)化能力．