分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到f′(1)=0,求出m的值;(Ⅱ)求出函數(shù)f(x)導(dǎo)數(shù),通過討論m的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(Ⅲ)問題轉(zhuǎn)化為求g(x)=x2+mlnx-m的最小值,從而求出m的范圍即可.
解答 解:(Ⅰ)f′(x)=$\frac{2{mx}^{2}+x{-m}^{2}}{x}$,(x>0),
∵函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值,∴f′(1)=0,解得:m=1±$\sqrt{2}$,
經(jīng)檢驗(yàn)m=1+$\sqrt{2}$時,函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值,
故m=1+$\sqrt{2}$;
(Ⅱ)令f′(x)=0,即2mx2+x-m2=0,(x>0),
①當(dāng)m=0時,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)遞增,
②m>0時,△=1+8m3>0,
故x1=$\frac{-1-\sqrt{1+{8m}^{3}}}{4m}$,x2=$\frac{-1+\sqrt{1+{8m}^{2}}}{4m}$,且x1<0<x2,
∴f(x)在(0,$\frac{-1+\sqrt{1+{8m}^{2}}}{4m}$)遞增,在($\frac{-1+\sqrt{1+{8m}^{2}}}{4m}$,+∞)遞減,
③-$\frac{1}{2}$<m<0時,△=1+8m3>0,由x1+x2>0,x1•x2>0,得:x1>x2>0,
∴f(x)在區(qū)間(0,$\frac{-1+\sqrt{1+{8m}^{2}}}{4m}$),($\frac{-1-\sqrt{1+{8m}^{3}}}{4m}$,+∞)遞減,
在($\frac{-1+\sqrt{1+{8m}^{2}}}{4m}$,$\frac{-1-\sqrt{1+{8m}^{3}}}{4m}$)遞增,
④m≤-$\frac{1}{2}$時,△≤0,f′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)遞減;
(Ⅲ)由題意,方程$\frac{f(x)}{x}$=f′(x)在[$\frac{1}{e}$,+∞)有解,
即方程$\frac{{mx}^{2}{-m}^{2}lnx+x}{x}$=$\frac{2{mx}^{2}+x{-m}^{2}}{x}$有解,(x≥$\frac{1}{e}$),
整理得:x2+mlnx-m=0,
設(shè)g(x)=x2+mlnx-m,(x≥$\frac{1}{e}$),g′(x)=2x+$\frac{m}{x}$>0,
∴g(x)在[$\frac{1}{e}$,+∞)遞增,g(x)min=g($\frac{1}{e}$)=$\frac{1}{{e}^{2}}$-2m,
∵g(e)=e2>0,∴只需$\frac{1}{{e}^{2}}$-2m≤0,
∴m≥$\frac{1}{{2e}^{2}}$.
點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題,是一道綜合題.
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