Question

9．已知關(guān)于x的不等式ax²+2x+b＞0（a≠0）的解集為$\{x|x≠-\frac{1}{a}，x∈R\}$，且a＞b，則$\frac{{{a^2}+{b^2}+1}}{a-b}$的最小值是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)不等式ax²+2x+b＞0（a≠0）的解集得出ab=1且a＞0；再化簡$\frac{{{a^2}+{b^2}+1}}{a-b}$，利用基本不等式求出它的最小值．

解答 解：關(guān)于x的不等式ax²+2x+b＞0（a≠0）的解集為$\{x|x≠-\frac{1}{a}，x∈R\}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4ab=0}\end{array}\right.$，
即ab=1且a＞0；
又a＞b，∴a-b＞0；
∴$\frac{{{a^2}+{b^2}+1}}{a-b}$=$\frac{{（a-b）}^{2}+2ab+1}{a-b}$=（a-b）+$\frac{3}{a-b}$≥2$\sqrt{（a-b）•\frac{3}{a-b}}$=2$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a-b=$\frac{3}{a-b}$，即a-b=$\sqrt{3}$時“=”成立；
∴$\frac{{{a^2}+{b^2}+1}}{a-b}$的最小值是$2\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了一元二次不等式的解集以及利用基本不等式求最值的應(yīng)用問題，是綜合性題目．