Question

【題目】已知關于x的不等式|x+1|+|x﹣1|＜4的解集為M．
（1）設Z是整數集，求Z∩M；
（2）當a，b∈M時，證明：2|a+b|＜|4+ab|．

Answer 1

【答案】
（1）解：|x+1|+|x﹣1|= 當

x＜﹣1時，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1；當﹣1≤x≤1時，f（x）=2＜4；當x＞1時，由2x＜4，得1＜x＜2．

所以M=（﹣2，2），故Z∩M={﹣1，0，1}}

（2）證明：當a，b∈M即﹣2＜a，b＜2，

∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，

∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴2|a+b|＜|4+ab|

【解析】（1）利用絕對值的幾何意義，解出M，利用Z是整數集，求Z∩M；（2）當a，b∈M時，利用作差法證明：2|a+b|＜|4+ab|．
【考點精析】掌握絕對值不等式的解法是解答本題的根本，需要知道含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關鍵是去掉絕對值的符號．