Question

4．長(zhǎng)方體的體積公式為V_長(zhǎng)=Sh，柱體的體積公式為V_柱=Sh，錐體的體積公式為V_椎=$\frac{1}{3}$Sh．若給出原理“兩等高的幾何體，若被平行于底面的平面所截的截面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等”．試用上述知識(shí)解釋球的體積公式V球=$\frac{4}{3}$πR³．

Answer 1

分析 由祖暅原理的內(nèi)容的提示此題可先觀察V_圓錐、V_半球、V_圓柱這三個(gè)量（等底等高）之間的不等關(guān)系，再構(gòu)造一個(gè)參照體，這樣的參照體我們可以用圓柱內(nèi)挖去一個(gè)圓錐構(gòu)造出，接下來(lái)利用祖暅原理證明猜想．

解答 解：我們先推導(dǎo)半球的體積．為了計(jì)算半徑為R的半球的體積，我們先觀察V_圓錐、V_半球、V_圓柱這三個(gè)量（等底等高）之間的不等關(guān)系，
可以發(fā)現(xiàn)V_圓錐＜V_半球＜V_圓柱，即$\frac{1}{3}$πR³＜V_半球＜πR³，根據(jù)這一不等關(guān)系，我們可以猜測(cè)V_半球=$\frac{2}{3}$πR³，并且由猜測(cè)可發(fā)現(xiàn)V_半球=V_圓柱-V_圓錐．
下面進(jìn)一步驗(yàn)證了猜想的可靠性．關(guān)鍵是要構(gòu)造一個(gè)參照體，這樣的參照體我們可以用圓柱內(nèi)挖去一個(gè)圓錐構(gòu)造出，如圖所示．下面利用祖暅原理證明猜想．

證明：用平行于平面α的任意一個(gè)平面去截這兩個(gè)幾何體，截面分別為圓面和圓環(huán)面．
如果截平面與平面α的距離為l，那么圓面半徑r=$\sqrt{{R}^{2}-{l}^{2}}$，圓環(huán)面的大圓半徑為R，小圓半徑為r．
因此S_圓=πr²=π（R²-l²），
S_環(huán)=πR²-πl(wèi)²=π（R²-l²），∴S_圓=S_環(huán)．
根據(jù)祖暅原理，這兩個(gè)幾何體的體積相等，即V_半球=$π{R}^{2}•R-\frac{1}{3}π{R}^{2}•R$=$\frac{2}{3}$πR³，
所以V_球=$\frac{4}{3}$πR³．

點(diǎn)評(píng) 本題考查祖暅原理、幾何體的體積，考查轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．