Question

13．已知a，t為正實數(shù)，函數(shù)f（x）=x²-2x+a，且對任意的x∈[0，t]，都有f（x）∈[-a，a]．若對每一個正實數(shù)a，記t的最大值為g（a），則函數(shù)g（a）的值域為（0，1）∪{2}．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的特征，要對t進行分類討論，求出t的最大值，再根據(jù)a是正實數(shù)，求出g（a）的值域．

解答 解：∵f（x）=x²-2x+a∴函數(shù)f（x）的圖象開口向上，對稱軸為x=1
①0＜t≤1時，f（x）在[0，t]上為減函數(shù)，f（x）_max=f（0）=a，f（x）_min=f（t）=t²-2t+a
∵對任意的x∈[0，t]，都有f（x）∈[-a，a]．
∴-a=t²-2t+a，解得t=1-$\sqrt{1-2a}$（1+$\sqrt{1-2a}$舍去）
②t＞1時，f（x）在[0，1]上為減函數(shù)，在[1，t]上為增函數(shù)，
則f（x）_min=f（1）=a-1=-a，f（x）_max=max{f（0），
f（t）}=max{a，t²-2t+a}=a
∴a=$\frac{1}{2}$，且t²-2t+a≤a，即1＜t≤2
∵t的最大值為g（a）
∴綜上，g（a）=2或1-$\sqrt{1-2a}$
∴函數(shù)g（a）的值域為（0，1）∪{2}
故答案為：（0，1）∪{2}．

點評 本題考查二次函數(shù)的值域，屬于求二次函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．