Question

16．已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=log_a（x+1）在區(qū)間（-1，+∞）上遞減，求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x₁＞0，x₂＞0，恒有$\frac{1}{2}$[f（x₁-1）+f（x₂-1）]≥f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$-1）

Answer 1

分析 由條件，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得0＜a＜1，運(yùn)用作差法和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合基本不等式和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得證．

解答 證明：函數(shù)f（x）=log_a（x+1）在區(qū)間（-1，+∞）上遞減，
即有0＜a＜1，
對(duì)于任意實(shí)數(shù)x₁＞0，x₂＞0，
$\frac{1}{2}$[f（x₁-1）+f（x₂-1）]-f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$-1）=$\frac{1}{2}$（log_ax₁+log_ax₂）-log_a$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$
=log_a$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$-log_a$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
由于$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$≥$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$，
又0＜a＜1，
則log_a$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$≥log_a$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
則有$\frac{1}{2}$[f（x₁-1）+f（x₂-1）]≥f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$-1），
當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂取得等號(hào)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，同時(shí)考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．