Question

15．已知直線l的極坐標方程為$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}$，圓C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=-2+2sinθ\end{array}\right.（{θ為參數(shù)}）$．
（1）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；
（2）若橢圓的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=\sqrt{3}sinφ\end{array}$（φ為參數(shù)），過圓C的圓心且與直線l垂直的直線l′與橢圓相交于兩點A，B，求|CA|•|CB|的值．

Answer 1

分析 （1）求出直線和圓的方程，求出圓心到直線的距離，與圓半徑比較后，可得答案；
（2）求出直線l′方程，聯(lián)立橢圓方程，求出A，B坐標，代入兩點之間距離公式，可得答案．

解答 解：（1）∵直線l的極坐標方程為$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}$，
即$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）=2\sqrt{2}$，
即ρsinθ+ρcosθ=4，
故直線l的直角坐標方程為：x+y-4=0，
∵圓C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=-2+2sinθ\end{array}\right.（{θ為參數(shù)}）$．
∴圓C的普通方程為：x²+（y+2）²=4，
圓心（0，-2）到直線l的距離d=$\frac{6}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$＞2，
故直線l與圓C相離；
（2）∵橢圓的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=\sqrt{3}sinφ\end{array}$（φ為參數(shù)），
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
過C（0，-2）點直線l垂直的直線l′的方程為：x-y-2=0，
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}x-y-2=0\\ \frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{7}\\ y=-\frac{12}{7}\end{array}\right.$，
故|CA|•|CB|=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$•$\sqrt{{（\frac{2}{7}）}^{2}+{（\frac{2}{7}）}^{2}}$=$\frac{8}{7}$

點評 本題考查的知識點是極坐標與參數(shù)方程，直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，難度中檔．