Question

10．已知：函數(shù)f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x 
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求f（x）的值域．；
（2）若y=f（x）的圖象在[0，m]上恰好有兩個點的縱坐標為1，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 將函數(shù)解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，
（1）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，即可求f（x）的值域．；
（2）由函數(shù)的圖象在[0，m]上恰好有兩個點的縱坐標為1，令函數(shù)值為1，表示出x，根據(jù)k為整數(shù)，取k=0，k=1，分別求出對應x的值，即可確定出m的范圍．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-（cos²x-sin²x）=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）
∴T=$\frac{2π}{2}$=2；
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，∴0≤2x≤π，
∴-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴-1≤2sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤2，
∴x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）的值域為[-1，2]；
（2）2sin（2x-$\frac{π}{6}$）=1，則sin（2x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$  
∴2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{6}$或2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，
∴2x=2kπ+$\frac{π}{3}$或2x=2kπ+π，
∴x=kπ+$\frac{π}{6}$或x=kπ+$\frac{π}{2}$，
k=0，x=$\frac{π}{6}$或x=$\frac{π}{2}$，k=1，x=$\frac{7π}{6}$或x=$\frac{3π}{2}$，
∴m∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{6}$）．

點評 此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關鍵．