20．設(shè)n∈N且n≥15，A，B都是{1，2，3，…，n}真子集，A∩B=∅，且A∪B={1，2，3，…，n}．證明：A或者B中必有兩個不同數(shù)的和是完全平方數(shù)．

分析 運用反證法，假設(shè)A、B兩組中都沒有不同的兩個數(shù)的和是完全平方數(shù)，逐步討論，得出與假設(shè)相矛盾的結(jié)果．

解答 證明：（反證法）假設(shè)A、B中都沒有不同的兩個數(shù)的和是完全平方數(shù)．
不妨設(shè)1在A中，且n≥15，
由于1+3=22，1+15=42，即3，15都不在A中，
所以3，15都在B中，
又因為3+6=32，即6必不在B中，
即6必須在A，
而6+10=42，即10必須在B中，
這時，B中已有兩個數(shù)10，15的和為完全平方數(shù)了，即10+15=52，
所以，假設(shè)不成立，
故在A或B中，必有兩個不相同的數(shù)的和為完全平方數(shù)．

點評 本題主要考查了運用反證法證明集合問題，通過假設(shè)反復(fù)計算和推理得出A、B兩集合中元素的歸屬，直到得出矛盾，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
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（2）若橢圓的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=\sqrt{3}sinφ\end{array}$（φ為參數(shù)），過圓C的圓心且與直線l垂直的直線l′與橢圓相交于兩點A，B，求|CA|•|CB|的值．

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