Question

【題目】設拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.

（1）求△APB的重心G的軌跡方程.

（2）證明∠PFA=∠PFB.

Answer 1

【答案】(1)(2)見解析

【解析】

本試題主要考查了軌跡方程的求解和證明角的相等問題。

解：（1）設切點，坐標分別為和 ，

切線的方程為：；切線的方程為：；

由于既在又在上，所以解得，

所以的重心的坐標為，

，

所以，由點在直線上運動，從而得到重心的軌跡方程為：

，即．

（2）方法1：因為，，．

由于點在拋物線外，則．

，

同理有，

．

方法2：①當時，由于，不妨設，則，所以P點坐標為，則P點到直線AF的距離為：；而直線的方程：，

即．所以P點到直線BF的距離為：所以，即得．

②當時，直線AF的方程：，即，

直線的方程：，即，

所以P點到直線AF的距離為：

，

同理可得到P點到直線BF的距離，因此由，可得到．