Question

已知函數(shù)f（x）=x-alnx-1（a∈R），g（x）=

xeb

ex

（b∈R），且函數(shù)g（x）的最大值為1，
（1）求b的值；
（2）若函數(shù)f（x）有唯一零點，且對任意的x≥1，不等式f（x）-g（x）≥a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)零點的判定定理,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）g′(x)=

(1-x)eb

ex

，易知x=1是最大值點，利用g（1）=1解出b．
（2）f′(x)=

x-a

x

(x＞0)，分a≤0，a＞0時研究單調(diào)性以及零點個數(shù)，得出a≤0，或a=1，利用f（1）-g（1）≥a恒成立能夠縮小a的范圍到a≤-1．令h（x）=f（x）-g（x）-a，轉(zhuǎn)化為h（x）_min≥0．

解答： 解：（1）g′(x)=

(1-x)eb

ex

，當(dāng)（-∞，1）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增
當(dāng)（1，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，所以g(x)max=g(1)=

eb

e

=1
所以e^b=e所以b=1
（2）f′(x)=

x-a

x

(x＞0)
1）a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f（1）=0，符合題意；
2）a＞0時，當(dāng)0＜x＜a時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞a時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
∴f（x）_min=f（a）=a-lna-1，函數(shù)f（x）有唯一零點，則a-lna-1=0，所以a=1，
綜上所述，a≤0，或a=1時，函數(shù)f（x）有唯一零點．對任意的x≥1，不等式f（x）-g（x）≥a恒成立，
所以f（1）-g（1）≥a恒成立，∴-

eb

e

≥a，又b=1，∴a≤-1．
令h（x）=f（x）-g（x）-a=x-alnx-1-xe^1-x-a，則h′（x）=1-

a

x

-[e^1-x-xe^1-x]=1-

a

x

-（1-x）e^1-x（x≥1），
∵a≤-1，x≥1，∴-

a

x

＞0，-（1-x）e^1-x＞0，∴h′（x）＞0，h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
h（x）_min=h（1）=-a-1≥0，∴a≤-1，a的取值范圍是（-∞，-1]．

點評：本題考查函數(shù)的零點、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值，考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識解決問題的能力．