Question

已知函數(shù)f（x）=[ax²+（a+1）x+1]e^x，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若f（x）是區(qū)間[-1，1]上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系，即可求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若f（x）是區(qū)間[-1，1]上的單調(diào)遞增函數(shù)，等價(jià)為f′（x）≥0恒成立，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）極大值f（-3）=4e^-3，極意，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立．小值f（-1）=0
（2）f′（x）=[ax²+（3a+1）x+a+2]e^x，
若f（x）是區(qū)間[-1，1]上的單調(diào)遞增函數(shù)，則f′（x）≥0恒成立，
即ax²+（3a+1）x+a+2≥0在[-1，1]上恒成立．
令h（x）=ax²+（3a+1）x+a+2，當(dāng)a=0時(shí)，符合條件
當(dāng)a＜0時(shí)，

h(-1)≥0 h(1)≥0

，解得-

3

5

≤a＜0，
當(dāng)a＞0時(shí)h（-1）≥0，解得0＜a≤1，
綜上a的取值范圍是[-

3

5

，1]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，要求熟練掌握函數(shù)的極值和單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系．