Question

已知a∈R，b∈R⁺，e為自然數(shù)的底數(shù)，則[

1

2

e^a-ln（2b）]²+（a-b）²的最小值為（　�。�

• A、（1-ln2）²
• B、2（1-ln2）²
• C、1+ln2
• D、

  2

  （1-ln2）

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值

專題：計(jì)算題,轉(zhuǎn)化思想,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由待求式子的幾何意義可構(gòu)造函數(shù)y=

1

2

ex，y=ln2x，由[

1

2

e^a-ln（2b）]²+（a-b）²的幾何意義為兩曲線y=

1

2

ex與y=ln2x上兩點(diǎn)間的距離的平方進(jìn)行求解．

解答： 解：構(gòu)造函數(shù)y=

1

2

ex，y=ln2x，
則[

1

2

e^a-ln（2b）]²+（a-b）²的幾何意義為兩曲線y=

1

2

ex與y=ln2x上兩點(diǎn)間的距離的平方，
而兩函數(shù)y=

1

2

ex與y=ln2x互為反函數(shù)，
∴兩曲線y=

1

2

ex與y=ln2x上兩點(diǎn)間的距離的最小值為曲線y=lnx上的點(diǎn)到直線y=x的距離的最小值的2倍．
由y=lnx，得：y′=

1

x

，
由

1

x

=1，得x=1，∴曲線y=lnx上的點(diǎn)（1，ln2）到直線y=x的距離最小，
根據(jù)對稱性知，曲線y=

1

2

ex上的點(diǎn)（ln2，1）到直線y=x的距離最小，
則[

1

2

e^a-ln（2b）]²+（a-b）²的距離的最小值為[

1

2

e^a-ln（2b）]²+（a-b）²=(

(1-ln2)2+(ln2-1)2

)2=2(1-ln2)2．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象間的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．