Question

19．設(shè)A={x|ax-2＞0}，B={x|x²-4x+3＞0}．
（1）若A∩B=A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若A∩∁_RB≠∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出不等式x²-4x+3＞0的解集B，由A∩B=A得A⊆B，對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，分別根據(jù)集合間的包含關(guān)系求出a的取值范圍，最后再并在一起；
（2）由補(bǔ)集的運(yùn)算求出∁_RB，對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，分別根據(jù)A∩∁_RB≠∅求出a的取值范圍，最后再并在一起．

解答 解：（1）由x²-4x+3＞0，得x＜1或x＞3，所以B={x|x＜1或x＞3}．
因?yàn)锳∩B=A，所以A⊆B，
當(dāng)a=0時(shí)，A=∅，滿(mǎn)足題意；
當(dāng)a＞0時(shí)，$A=\left\{{\left.x\right|x＞\frac{2}{a}}\right\}$，所以$\frac{2}{a}≥3$，解得$a≤\frac{2}{3}$，所以$0＜a≤\frac{2}{3}$；
當(dāng)a＜0時(shí)，$A=\left\{{\left.x\right|x＜\frac{2}{a}}\right\}$，顯然滿(mǎn)足A⊆B
綜上：a的取值范圍是$（-∞，\frac{2}{3}]$；
（2）由（1）得，C_RB={x|1≤x≤3}，且A∩∁_RB≠∅，
當(dāng)a=0時(shí)，A=∅，不滿(mǎn)足題意；
當(dāng)a＞0時(shí)，$A=\left\{{\left.x\right|x＞\frac{2}{a}}\right\}$，所以$\frac{2}{a}＜3$，解得$a＞\frac{2}{3}$；
當(dāng)a＜0時(shí)，$A=\left\{{\left.x\right|x＜\frac{2}{a}}\right\}$，顯然不滿(mǎn)足A∩∁_RB≠∅，
綜上可得，a的取值范圍是$（{\frac{2}{3}，+∞}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查集合的混合運(yùn)算，集合間的包含關(guān)系的應(yīng)用，考查分類(lèi)討論思想，屬于中檔題．