Question

7．函數(shù)$f（x）=\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{2}，x∈R$，當(dāng)$0≤θ≤\frac{π}{2}$時，f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（-∞，1]．

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵$f（x）=\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{2}，x∈R$，
∴f（-x）=$\frac{{e}^{-x}-{e}^{x}}{2}$=-$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$=-f（x），
則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
且函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）是為增函數(shù)，
由f（msinθ）+f（1-m）＞0，
得f（msinθ）＞-f（1-m）=f（m-1），
則msinθ＞m-1，
即（1-sinθ）m＜1，
當(dāng)θ=$\frac{π}{2}$時，sinθ=1，此時不等式等價為0＜1成立，
當(dāng)θ∈（0，$\frac{π}{2}$），0＜sinθ＜1，
∴m＜$\frac{1}{1-sinθ}$，
∵0＜sinθ＜1，∴-1＜-sinθ＜0，
0＜1-sinθ＜1，則$\frac{1}{1-sinθ}$＞1，
則m≤1，
故答案為：（-∞，1]．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，利用參數(shù)分離法結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．