Question

已知函數(shù)f（x）=

aex-1

ex+1

（a為常數(shù)）是R上的奇數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調性；
（3）若不等式f（kx+1）≤f（x²+2）對任意x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）利用奇函數(shù)的定義或性質進行確定，比如f（0）=0；
（2）先分離常數(shù)，然后再進行判斷；
（3）結合（2）的單調性，去掉“f”，構造出關于x的不等式恒成立，再利用恒成立的思想解題．

解答： 解：（1）因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（0）=0，即

a-1

2

=0，所以a=1，經(jīng)驗證a=1時符合題意．
（2）原函數(shù)可化為f（x）=1-

2

ex+1

，易知，y=e^x+1在定義域內是增函數(shù)，且y＞1恒成立，
所以函數(shù)y=

2

ex+1

在R內是減函數(shù)，則f（x）=1-

2

ex+1

，在R內是增函數(shù)．
（3）結合（2），函數(shù)f（x）在定義域內是單調增函數(shù)，所以kx+1≤x²+2在R內恒成立，
即x²-kx+1≥0在R內恒成立，
結合y=x²-kx+1圖象可知，只需△=（-k）²-4≤0即可
解得-2≤k≤2即為所求．

點評：本題主要是考查了函數(shù)奇偶性的、單調性的判斷等知識方法．同時第三問中涉及到了不等式恒成立問題，一般轉化為函數(shù)的最值問題．