Question

17．下列說法正確的為④（只填序號）．
①若點P（a，2a）（a≠0）為角α終邊上一點，則sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
②同時滿足sinα=$\frac{1}{2}$，cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$的角α有且只有一個；
③當|a|＜1時，tan（arcsinα）的值恒正；
④方程tan（x+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$的解集為{x|x=kπ，k∈Z}．

Answer 1

分析 ①根據三角函數(shù)的定義進行判斷，
②根據三角函數(shù)的性質進行判斷．
③根據反三角函數(shù)的性質進行判斷，
④根據正切函數(shù)的性質進行求解判斷即可．

解答 解：①若點P（a，2a）（a≠0）為角α終邊上一點，則r=$\sqrt{{a}^{2}+4{a}^{2}}$=$\sqrt{5}$|a|，
則sinα=$\frac{2a}{\sqrt{5}|a|}$，若a＞0，得sinα=$\frac{2a}{\sqrt{5}|a|}$=$\frac{2a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
若a＜0，則sinα=$\frac{2a}{\sqrt{5}|a|}$=-$\frac{2a}{\sqrt{5}a}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，故①錯誤；
②同時滿足sinα=$\frac{1}{2}$，cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$的角α=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，有無數(shù)多個，故②錯誤；
③當|a|＜1時，arcsina∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），所以tan（arcsina）∈R，故③錯誤，
④方程tan（x+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，則x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{3}$，即x=kπ，即方程的解集為{x|x=kπ，k∈Z}．故②正確，
故答案為：④

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數(shù)的圖象和性質，考查學生的推理和運算能力．