Question

9．某校高二年級共有1600名學(xué)生，其中男生960名，640名，該校組織了一次滿分為100分的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平模擬考試，根據(jù)研究，在正式的學(xué)業(yè)水平考試中，本次成績在[80，100]的學(xué)生可取得A等（優(yōu)秀），在[60，80）的學(xué)生可取得B等（良好），在[40，60）的學(xué)生可取得C等（合格），在不到40分的學(xué)生只能取得D等（不合格），為研究這次考試成績優(yōu)秀是否與性別有關(guān)，現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法抽取100名學(xué)生，將他們的成績按從低到高分成[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]七組加以統(tǒng)計，繪制成頻率分布直方圖，如圖是該頻率分布直方圖．
（Ⅰ）估計該校高二年級學(xué)生在正式的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試中，成績不合格的人數(shù)；
（Ⅱ） 請你根據(jù)已知條件將下列2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有90%的把握認為“該校高二年級學(xué)生在本次考試中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與性別有關(guān)”？

	數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀	數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀	合計
男生	a=12	b=
女生	c=	d=34
合計			n=100

附：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$．

P（k2≥k0）	0.15	0.10	0.05
k0	2.072	2.706	3.841

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，求出不合格的概率，然后求解不合格的人數(shù)．
（Ⅱ）由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，代入公式，求出K²的值，進而與臨界值比較，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ） 抽取的100名學(xué)生中，本次考試成績不合格的有x人，根據(jù)題意得x=100×[1-10×（0.006+0.012×2+0.018+0.024+0.026）]=2．…（2分）
據(jù)此估計該校高二年級學(xué)生在正式的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試中，成績不合格的人數(shù)為$\frac{2}{100}×1600=32$（人）．…（4分）
（Ⅱ）根據(jù)已知條件得2×2列聯(lián)表如下：

	數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀	數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀	合計
男生	a=12	b=48	60
女生	c=6	d=34	40
合計	18	82	n=100

…（10分）
∵${K^2}=\frac{{100{{（{12×34-6×48}）}^2}}}{18×82×40×60}≈0.407＜2.706$，所以，沒有90%的把握認為“該校高二年級學(xué)生在本次考試中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與性別有關(guān)”．…（12分）

點評 本題考查獨立性檢驗的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力和應(yīng)用意識，本題解題的關(guān)鍵是正確運算出觀測值，理解臨界值對應(yīng)的概率的意義，要想知道兩個變量之間的有關(guān)或無關(guān)的精確的可信程度，只有利用獨立性檢驗的有關(guān)計算，才能做出判斷，本題是一個基礎(chǔ)題．